PROBABILITAS STATISTIKA & TEOREMA BAYES

PROBABILITAS

PENGERTIAN PROBABILITAS

        Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga diartikan sebagai harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, di antara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi. Probabilitas dilambangkan dengan P.

Ada tiga hal penting dalam probabilitas, yaitu:

1. Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.
2. Hasil adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.
3. Peristiwa adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

MANFAAT PROBABILITAS

       Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain:

1. Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat.
2. Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi.
3. Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil  penelitian dari suatu populasi.

PENDEKATAN PROBABILITAS 

Ada 3 (tiga) pendekatan konsep untuk mendefinisikan probabilitas dan menentukan nilai-nilai probabilitas, yaitu :

1. Pendekatan Klasik

     Pendekatan klasik didasarkan pada sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi sama besar (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai suatu rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil).

Probabilitas suatu peristiwa = Jumlah kemungkinan hasil / Jumlah total kemungkinan hasil

Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas/peluang bahwa akan terjadi a adalah:

(A) = a/a+b ; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah:  P (A) = b/a+b

Contoh:

Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?

Jawab: P (A) = 15/10+15 = 3/5.

       2. Pendekatan Relatif

     Besarnya probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. probabilitas dapat dinyatakan sebagai berikut :

Probabilitas kejadian relatif = Jumlah peristiwa yang terjadi / Jumlah total percobaan atau kegiatan.

Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A untuk N data adalah: P (A) = a/N

Contoh:

Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?

Jawab: P (A) = 5/400 = P (A) = 1/80.

          3. Pendekatan Subjektif

     Besarnya suatu probabilitas didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan. Penilaian subjektif diberikan terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh dan berdasarkan keyakinan.

DISTRIBUSI PROBABILITAS

       Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa tersebut dalam beberapa keadaan. Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh probabilitas kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi probabilitas.

1. Distribusi Binomial (Bernaulli)

     Distribusi Binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli) adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, sakit-sehat dan lain-lain.

Ciri-ciri distribusi Binomial adalah sebagai berikut:

1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-gagal.
2. Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan.
3. Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.
4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.

Simbol peristiwa Binomial = b (x,n,p)

     Ketarngan :

         b = binomial

         x = banyaknya sukses yang diinginkan (bilangan random)

         n = Jumlah trial

         p = peluang sukses dalam satu kali trial.

 2. Distribusi Poisson

    Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. Fungsi distribusi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis.

   Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b(X│n.p) untuk X= 1,2,3 …n. namun demikian, untuk suatu kejadian dimana n sangat besar (lebih besar dari 50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil seperti 0,1 atau kurang, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu. Contoh Distribusi Poisson:

1. Disuatu gerbang tol yang dilewati ribuan mobil dalam suatu hari akan terjadi kecelakaan dari sekian banyak mobil yang lewat.
2. Dikatakan bahwa kejadian seseorang akan meninggal karena shock pada waktu disuntik dengan vaksin meningitis 0,0005. Padahal, vaksinasi tersebut selalu diberikan kalau seseorang ingin pergi haji.

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :

1. Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat yang lain terpisah.
2. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit.
3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan.

Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal:

1. Menghitung Probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, saeperti menghitung probabilitas dari: Kemungkinan kesalahan pemasukan data atau kemungkinan cek ditolak oleh bank. Jumlah pelanggan yang harus antri pada pelayanan rumah sakit, restaurant cepat saji atau antrian yang panjang bila ke ancol.Banyaknya bintang dalam suatu area acak di ruangangkasa atau banyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air. Jumlah salah cetak dalam suatu halaman ketik. Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan. Distribusi bakteri di permukaan beberapa rumput liar di ladang. Semua contoh ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan tentang suatu distribusi Poisson.
2. Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p<0,1).

Jika kita menghitung sejumlah benda acak dalam suatu daerah tertentu T, maka proses penghitungan ini dilakukan sebagai berikut :

1. Jumlah rata-rata benda di daerah S T adalah sebanding terhadap ukuran S, yaitu ECount(S)= λ S. Di sini melambangkan ukuran S, yaitu panjang, luas, volume, dan lain lain. Parameter λ > 0 menggambarkankan intensitas proses.
2. Menghitung di daerah terpisah adalah bebas.
3. Kesempatan untuk mengamati lebih dari satu benda di dalam suatu daerah kecil adalah sangat kecil, yaitu P(Count(S)2) menjadi kecil ketika ukuran menjadi kecil.

   3. Distribusi Normal

     

     Distribusi Normal adalah salah satu distribusi teoritis dari variable random kontinu. Distribusi Normal sering disebut distribusi Gauss.

Rumus Distribusi Normal :

∫ (x) = -≈ < x > ≈  = 0

           -≈ < μ > ≈ π = 3,14 e = 2,71828

       Agar lebih praktis, telah ada tabel kurva normal dimana tabel ini menunjukkan luas kurva normal dari suatu nilai yang dibatasi nilai tertentu.

Ciri Khas Distribusi Normal:

• Simetris
• Seperti lonceng
• Titik belok μ ±σ
• Luas di bawah kurva = probability = 1

       Kurva Normal Umum

     Untuk dapat menentukan probabilitas di dalam kurva normal umum (untuk suatu sampel yang cukup besar, terutama untuk gejala alam seperti berat badan dan tinggi badan), nilai yang akan dicari ditransformasikan dulu ke nilai kurva normal standar melalui transformasi Z (deviasi relatif).

Rumus:

• Kurva normal standar {N (μ = 0, σ = 1)}
• Kurva normal umum {N (μ,σ)}

TEOREMA BAYES

      Teorema Bayes adalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda. Dalam penafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk baru. Dalam penafsiran frekuentis teorema ini menjelaskan representasi invers probabilitas dua kejadian. Teorema ini merupakan dasar dari statistika Bayes dan memiliki penerapan dalam sains, rekayasa, ilmu ekonomi (terutama ilmu ekonomi mikro), teori permainan, kedokteran dan hukum. Penerapan teorema Bayes untuk memperbarui kepercayaan dinamakan inferens Bayes.

    Teorema Bayes, diambil dari nama Rev. Thomas Bayes, menggambarkan hubungan antara peluang bersyarat dari dua kejadian A dan B sebagai berikut:

P(A | B) =	P(B | A) P(A)
	P(B)

or

P(A | B) =	P(B | A) P(A)
	P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)

        Misalkan kawan Anda bercerita dia bercakap-cakap akrab dengan seseorang lain di atas kereta api. Tanpa informasi tambahan, peluang dia bercakap-cakap dengan perempuan adalah 50%. Sekarang misalkan kawan Anda menyebut bahwa orang lain di atas kereta api itu berambut panjang. Dari keterangan baru ini tampaknya lebih bolehjadi kawan Anda bercakap-cakap dengan perempuan, karena orang berambut panjang biasanya wanita. Teorema Bayes dapat digunakan untuk menghitung besarnya peluang bahwa kawan Anda berbicara dengan seorang wanita, bila diketahui berapa peluang seorang wanita berambut panjang.

Misalkan:

W adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang wanita.

L adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang berambut panjang

M adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang pria

     Kita dapat berasumsi bahwa wanita adalah setengah dari populasi. Artinya peluang kawan Anda berbicara dengan wanita,

${\displaystyle P(W)=0,5}$                                                                 

    Misalkan juga bahwa diketahui 75 persen wanita berambut panjang. Ini berarti bila kita mengetahui bahwa seseorang adalah wanita, peluangnya berambut panjang adalah 0,75. Kita melambangkannya sebagai:

${\displaystyle P(L|W)=0,75}$                                                              

     Sebagai keterangan tambahan kita juga mengetahui bahwa peluang seorang pria berambut panjang adalah 0,3. Dengan kata lain:

${\displaystyle P(L|M)=0,3}$                                                               

     Di sini kita mengasumsikan bahwa seseorang itu adalah pria atau wanita, atau P(M) = 1 - P(W) = 0,5. Dengan kata lain M adalah kejadian komplemen dari W.

Tujuan kita adalah menghitung peluang seseorang itu adalah wanita bila diketahui dia berambut panjang, atau dalam notasi yang kita gunakan, P(W|L). Menggunakan teorema Bayes, kita mendapatkan:

${\displaystyle P(W|L)={\frac {P(L|W)P(W)}{P(L|W)P(W)+P(L|M)P(M)}}}$                                 

       Di sini kita menggunakan aturan peluang total. Dengan memasukkan nilai-nilai peluang yang diketahui ke dalam rumus di atas, kita mendapatkan peluang seseorang itu wanita bila diketahui dia berambut panjang adalah 0,714. Angka ini sesuai dengan intuisi awal kita, bahwa peluang kawan kita itu bercakap-cakap dengan wanita meningkat.

Dari contoh di atas kita bisa merumuskan teorema Bayes secara umum.

Daftar Pustaka:

M.B.A,Riduan.2006.Dasar-dasar Statistik.Bandung:ALFABETA

Pratiknya.Dasar-dasar Metodologi Penelitian dan Kesehatan, Jakarta, Raja Grapindo Persada; 2000.

Https://id.wikipedia.org/wiki/Peluang_(matematika)

Https://fallawatekke.wordpress.com/2015/03/15/probabilitas-dan-statistika/

Http://www.academia.edu/11269856/STATISTIKA_-_PROBABILITAS

Https://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Bayes

Http://muhammadyaniishak.blogspot.co.id/2014/08/makalah-teorema-bayes.html